O projeto de estratégias punitivas.

Assuma-se a existência, sob controle direto, de c agentes em conformidade com as leis sociais (i.e. que aplicam a estratégia eficiente) e de p agentes punitivos, os últimos com a propriedade de observar todas as instâncias ocorridas do jogo. Existem ainda m agentes maliciosos, fora de controle direto. As questões relevantes são: O jogo oferece a possibilidade de punição? Qual é o p.m.m de um jogo? Qual a relação ótima entre as quantidades de p, c e m? Existe alguma distinção entre diferentes regras sociais?
Uma estratégia de punição é efetiva se garantir que o máximo payoff esperado pelo agentes maliciosos não seja maior do que o esperado quando jogando em acordo com as regras coletivas. Tal garantia é obtida através de uma relação entre as quantidades de p e c tal que assegure que um agente malicioso tenha encontros suficientes com agentes punitivos.

Exemplo 1 (continuação): O prejuízo máximo esperado pelo agente malicioso é 7 (= 2 - (-5)). Isto ocorre quando os agentes punitivos jogam a estratégia 2. O ganho do agente malicioso contra o agente ajustado é 8 (= 10 - 2). Assumindo-se que no encontro de dois maliciosos o ganho esperado é zero e que a distribuição de probabilidades do encontro entre dois agentes quaisquer é uniforme, é necessário que se tenha     para que os maliciosos tendam ao comportamento regrado.

Como pode ser observado no exemplo, quanto maior a punição, menor o número requerido de agentes punitivos, o que representa uma vantagem do ponto de vista da implementação, uma vez que os últimos são mais sofisticados, e.g., devem identificar desvios de comportamento bem como chavear entre diferentes estratégias de punição. Para tanto, algumas definições adicionais devem ser feitas.

Definição 5:

Um jogo g de 2 jogadores é dito de soma-zero se para toda estratégia coletiva a soma dos ganhos for 0.

Definição 6:

Seja g um jogo de 2 jogadores. Seja     o ganho do jogador i em g (onde ) quando as estratégias s e t são jogadas pelos jogadores 1 e 2, respectivamente. O jogo projetado é o seguinte jogo de 2 pessoas de soma-zero: As estratégias de ambos jogadores são como em g e a matriz de payoffs é . Define-se o jogo transposto de g,   , como sendo o jogo g no qual os papéis dos jogadores se invertem.

Definiçao 7:

Dado um jogo g , uma certa estratégia coletiva é o equilíbrio de Nash de g se qualquer jogador, ao aplicar qualquer outra estratégia diversa da que ele aplica em , tiver o seu payoff diminuído, sempre que os outros jogadores jogarem .

Reduzir novos conceitos ao equilíbrio de Nash (e.N.) é conveniente do ponto de vista de projeto, pois esta é uma noção bem compreendida na teoria dos jogos não cooperativos. Em particular, o e.N. sempre existe para jogos finitos e os payoffs prescritos em qualquer equilíbrio de um dado jogo de soma-zero são univocamente definidos.

Teorema 1:

Dado um jogo iterativo n-2-g, o p.m.m. é obtido jogando-se a estratégia do jogador 1 prescrita pelo equilíbrio de Nash do jogo projetado , pela perspectiva do jogador 1; e jogando-se a estratégia do jogador 1 prescrita pelo equilíbrio de Nash do jogo projetado , pela perpectiva de 2.

Prova:

Considere-se que o agente punidor assume o papel do jogador 1. Se o jogador 1 adota a estratégia prescrita pelo e.N. , então o jogador 2 não pode obter um ganho maior do que o garantido por , dada simplesmente a definição de e.N. Por seu turno, o jogador 1 não pode impor maior prejuízo do que jogando a sua estratégia em : para se perceber isto, considere-se que o resultado de 1 não pode ser maior do que o garantido pelo e.N. (pela própria definição); devido ao fato ser este um jogo de soma-zero, isto implica que o ganho de 2 não pode ser menor do que o obtido quando 1 joga em acordo com . O caso do jogador 2 ser o agente punidor é tratado considerando-se o .

Exemplo 1 (continuação): O do dilema do prisioneiro é dado por:

	1 (C)	2 (D)
1 (C)	-2	-10
2 (D)	10	5

sendo o e.N. obtido jogando-se a que entrega 5. Neste caso é a estratégia punitiva para ambos jogadores.

Corolário 1:

Seja n-2-g um jogo iterativo com p agentes punitivos. Sejam e os ganhos do equilíbrio de Nash de e , respectivamente, que neste caso são univocamente definidos. Sejam e os ganhos máximos que o jogador 1 pode obter em e , respectivamente, assumindo-se que o jogador 2 obedece à convenção social. Sejam e os ganhos dos jogadores 1 e 2, respectivamente, quando ambos jogam a estratégia coletiva eficiente prescrita pela lei social. Assuma-se que o benefício esperado de dois agentes maliciosos no seu encontro é nulo. A condição necessária e suficiente para a existência de uma estratégia de punição é:

$$\frac{n-1-p}{n-1}\cdot (b+b\prime )-\frac{p}{n-1}\cdot (v+v\prime )<(e+e\prime )$$ (1)

Prova:

O ganho esperado dos agentes maliciosos é nos encontros com agentes ajustados, e nos encontros com agentes punitivos Para testar a existência de uma estratégia punitiva, deve-se considerar o melhor cenário possível da perspectiva do dos agentes maliciosos, i.e., a não existência de agentes punitivos. Para se determinar a expectativa de ganho de um agente malicioso deve-se calcular a média das duas quantidades definidas acima, ponderada pela proporção entre agentes punitivos e ajustados presentes na população. Procedendo-se assim, obtem-se: . Por definição, uma estratégia punitiva existe se, e somente se, a sua expectativa de utilidade for menor do que a expectativa garantida pela lei social. Uma vez que a expectativa de utilidade garantida pela obediência à lei social é , segue que a inequação 1 é verdadeira.

O valor da punição, , é indepedente da solução eficiente e é idêntica para todas soluções eficientes, por definição. No entanto, depende da escolha da solução eficiente. Quando mais de uma solução eficiente existe, a minimização de se torna uma importante consideração no projeto da lei social.

Exemplo 2: Considere-se a seguinte versão do dilema do prisioneiro:

	1 (C)	2 (D)
1 (C)	(0,0)	(-10,10)
2 (D)	(10, -10)	(-5,5)

Neste caso existem 3 soluções eficientes, dadas pelas estratégias coletivas (1,1), (1,2) e (2,1). No caso de (1,1), . Já no caso de (2,1) e (1,2), . Claramente, há um incentivo maior para um desvio da lei social considerando-se a estratégia (1,1) do que (2,1) ou (1,2).