Funções de Transferência

O comportamento dinâmico dos sistemas físicos em torno de um determinado ponto de operação, em geral, pode ser descrito por uma equação diferencial linear, que relaciona o sinal de entrada com o sinal de saída. Usando a ferramenta mátematica da transformada de Laplace [3], tem-se então uma representação entrada-saída do sistema que chamamos função de transferência. Denotando a transformada de Laplace da entrada e da saída respectivamente por $y(s)$ e $r(s)$ temos que a função de transferência $G(s)$ é dada por

$$G(s)=\frac{y(s)}{u(s)} = \frac{N(s)}{D(s)}$$

onde $N(s)$ e $D(s)$ são polinômios em $s$. A partir desta representação e supondo que as raízes de $N(s)$ são todas diferentes das raízes de $D(s)$, define-se o seguinte:

• pólos de G(s): raízes de $D(s)$.
• zeros de G(s): raízes de $N(s)$.
• ordem do sistema: grau de $D(s)$
• tipo do sistema: número de pólos da $G(s)$ em $s=0$.

Exemplo: Seja um sistema representado pela seguinte função de transferência:

$$G(s)= \frac{s^2+5s+6}{s^3+15s^2+50s}=\frac{(s+2)(s+3)}{s(s+5)(s+10)}$$

tem-se então:

-

pólos: $0; -5; -10$

-

zeros: $-3;-2$

-

tipo do sistema: 1 (apenas um pólo na origem)

-

ordem do sistema: 3

Conhecendo-se a tranformada de Laplace de uma determinada entrada $u(t)$ e a funcão de tranferência do sistema, é possível, através da transformada inversa de Laplace, determinar a resposta temporal do sistema, ou seja:

$$y(t)={\cal L}^{-1}[G(s)u(s)]$$

Os sinais de entrada mais utilizados em sistemas de controle são sinais do tipo salto (sinais de referência constantes) e sinais do tipo rampa (sinais de referência que variam linearmente com o tempo). A transformada de Laplace destes dois sinais são:

• salto de amplitude $K$: $\frac{K}{s}$
• rampa com declividade $K$: $\frac{K}{s^2}$

A resposta a estes dois tipos de sinal são utilizadas para caracterizar o desempenho de um sistema de controle (vide seção 1.5).