Ação Integral

A ação integral é dada por:

$$I(t)=\frac{K}{T_i} \int^{t}{0} e(s) ds$$

ou equivalentemente por:

$$\frac{dI}{dt}=\frac{K}{T_i}e$$ (3.5)

Existem várias maneiras de discretizar, ou seja, aproximar numericamente a equação (3.5). Abaixo apresentamos dois métodos

Backward Differences:

Neste caso temos a seguinte aproximação para a equação (3.5):

$$\frac{I(k)-I(k-1)}{T}=\frac{K}{T_i}e(k)$$

a qual é equivalente a seguinte equação de recorrência:

$$I(k+1)=I(k)+\frac{K}{T_i}e(k)$$

Aproximação de Tustin

A aproximação de Tustin, também conhecida como transformação bilinear, nos dá a seguinte equação de recorrência:

$$I(k+1)=I(k)+\frac{KT}{T_i} \frac{e(k+1)+e(k)}{2}$$

Observe que a equação (3.9.2) é equivalente a uma integração numérica utilizando o método dos trapézios.