Método do Período Crítico

Se um processo é colocado em laço fechado com controle proporcional e o valor do ganho proporcional é aumentado progressivamente, a certa altura o processo iniciará a oscilar. O ganho necessário para causar esta oscilação é chamado ganho crítico do processo e o período da oscilação observada é dito o seu período crítico. Evidentemente estes parâmetros podem ser determinados pelo ensaio em malha fechada com ganho proporcional, porém este procedimento é pouco eficiente por diversos motivos. Primeiramente, uma vez que o ganho deve ser aumentado de forma gradativa, o procedimento torna-se bastante demorado. Em segundo lugar, é preciso ter de antemão alguma informação sobre a dinâmica do processo a fim de determinar o valor inicial do ganho e sua taxa de variação. Finalmente, a natureza linear da oscilação faz com que ela nunca seja sustentada, mas sempre amortecida ou instável.

Uma maneira muito mais eficiente de determinar estes parâmetros é o ensaio de realimentação com relé, que não sofre de nenhum dos problemas citados acima. Imagine que o processo esteja em laço fechado com um relé na realimentação, como na Figura 2.1. A saída do relé oscila entre dois valores, e o valor médio é aquele necessário para fazer com que a saída seja igual à referência. O sistema de identificação está mostrado na Figura 2.1, enquanto que a Figura 2.3 apresenta a resposta do sistema nesta configuração.

O período desta oscilação é o chamado período crítico do processo $T_u$. O outro parâmetro a ser determinado é o ganho crítico $K_ u$, que recebe este nome por ser o ganho necessário para levar o sistema à instabilidade quando sob controle proporcional. Pelo método da função descritiva [3] pode-se demonstrar que o ganho crítico é inversamente proporcional à amplitude da oscilação provocada pela realimentação com relé:

$$K_u = \frac{\pi}{d} A$$

onde $A$ é a amplitude da oscilação observada.

Como o processo deve ser mantido próximo do seu ponto de operação, o sistema do relé deverá somar à saída do relé o valor da tendência (bias) que a saída do PID apresentava antes do início do teste. O valor do "bias" será o valor médio da saída do PID antes do início valor deve ser recalculado do teste. Caso este valor não seja adequado, o sistema não oscilará, ou oscilará de forma assimétrica. Neste caso, o valor de "bias" deve ser recalculado. Ademais, éconveniente fazer com que a saída do relé varie seguindo uma rampa nos primeiros momentos do ensaio, até atingir a amplitude desejada, como medida de prevenção contra possíveis oscilações excessivamente grandes.

De posse do ganho crítico e do período crítico basta aplicar as fórmulas propostas. A Tabela 4.3 apresenta as fórmulas originalmente apresentadas por Ziegler e Nichols quando da proposta do método.

Table 4.3: Fórmulas de Ziegler e Nichols para ajuste pelo método do período crítico.

Tipo de controlador	$K$	$T_i$	$T_d$
P	$0,5K_u$	--	--
PI	$0,4K_u$	$0,8T_u$	--
PID	$0,6K_u$	$0,5T_u$	$0,125T_u$

O método de ajuste do período crítico consiste portanto dos seguintes passos:

1. colocar o sistema em laço fechado com controle liga-desliga, de forma a provocar uma oscilação na saída do processo;
2. anotar a amplitude e a freqüência da oscilação resultante;
3. calcular o ganho crítico como em (4.1);
4. consultar a Tabela 4.3 ou outra Tabela similar.

Na prática o relé deve ser dotado de histerese, a fim de evitar chaveamento devido ao ruído. Este método pode ser diretamente aplicado a uma classe de sistemas para os quais o método da resposta ao salto não é adequado. Ademais este método é menos sensível à presença de ruído do que o método da resposta ao salto. No entanto, para sistemas demasiadamente simples o método fica prejudicado, pois neste caso as características da oscilação - amplitude e freqüência - são univocamente determinadas pelas características do relé, independendo das características do processo.

Embora forneçam um desempenho ligeiramente superior àquele obtido com as fórmulas de Ziegler Nichols da resposta ao salto, estas fórmulas também não são satisfatórias em muitos casos. Um melhor ajuste pode ser obtido com o auxílio de uma informação adicional: o ganho estático do processo. O ganho estático do processo, caso não seja conhecido de outros ensaios, pode ser obtido por meio de um ensaio adicional, aplicando uma mudança de referência de pequena amplitude com o sistema em laço fechado. De posse desta informação os ganhos obtidos pelas fórmulas de Ziegler-Nichols são então modificados de acordo com as fórmulas

$$K_p = \alpha K_{pZN}$$ (4.1)

$$T_i = \beta T_{iZN}$$ (4.2)

$$T_D = \gamma T_{dZN}$$ (4.3)

onde o subscrito $ZN$ indica os ganhos calculados anteriormente pelo método de Ziegler-Nichols e os parâmetros $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são obtidos dos gráficos da figura 4.2.

O método modificado do período crítico consiste portanto dos seguintes passos:

1. aplicar o método do período crítico;
2. colocar o processo em laço fechado com controle PID, com os parâmetros calculados anteriormente;
3. aplicar um salto na referência e aguardar a saída atingir regime permanente;
4. calcular o ganho estático do processo;
5. consultar o gráfico 4.2, obtendo os parâmetros $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$;
6. recalcular os ganhos do PID de acordo com (4.2), (4.3), (4.4).

Figure 4.2: Parâmetros de ajuste para o método de Ziegler-Nichols modificado.